お返事が遅くなりまして、申し訳ございません。
まず、「更新料」と「更新事務手数料」は違います。
「更新料」は家主さんが入居者からいただくもので、「更新事務手数料」は、更新事務を行った会社が、そのサービスの報酬として、いただくものです。
前回の更新時はなかったとのことですが、最近は、手数料ビジネスが見直されているのが、時流です。
業者の立場からしますと、契約時の仕事は「仲介手数料」、更新時は「更新事務手数料」、退去の時は「退去立会手数料」等をいただくところが多くなっているかと思います。
都宅協、港支部では、トラブル防止のため重要事項説明にうたうよう指導しているページを見つけました。
個人的な見解ですが、納得されれば支払い、納得できなければ、次回からにしてもらう等の交渉をされてはいかがでしょうか？ （何か仕事をしたら、それ相当の対価を請求するというのはあたりまえとは思いますが。）
それ以降の話になりますが、更新は直接大家さんとでもできます。仲介業者の業務は、入居者を入れるまでが仕事ですが、大家さんから管理業務をまかされていると、話は違います。直接、大家さんと更新契約ができなくなります。管理会社は大家さんの委託を受けて更新業務をしているのですから、更新事務手数料を支払わないということは、この更新契約を望まないことになるのではないでしょうか。
大家さんの署名捺印については、手続き上の順番ということもありますが、納得できなければ、先に書いてもらってもいいかと思います。（契約時と違い、更新だから大家さんも入居者のことをわかっているはず）
賃貸契約の慣習については地域差があり、また、各会社がまちまちのことをしていると思います。今回の返事は、あくまで個人的見解ということでご容赦下さい。