＞ 短期賃借権付の建物を競売により買受けたのですが、
＞ 短期賃借期間終了（1年6カ月先）まで賃借人は明渡さないと言った場合、買受人としては短期賃貸借期間終了で明渡しを求め更新は当然にしないとき
＞ 買受人は短期賃借人より家賃相当額を賃料として受領してもよいのか（この場合は、新たに賃貸借契約を短期賃借人と締結するのか、そのことにより更新しなければならなくなるのか）それとも短期賃借人とは賃貸借契約などせずに、賃料相当損害金として受領すべきなのでしょうか？
賃料相当損害金ではなく賃料として受領できます。できます、ではなく賃料として受領します。
契約書は「短期賃貸借契約確認書」でもいいですし「短期賃貸借契約承継書」でもいいですが、元の契約内容（特に賃料と期間は明確に）を正確に書き入れ、終了時には更新しないことも書き入れておいて下さい。
それらの契約書は「即決和解申立書」で作成することをおすすめします。これは司法書士に云えば書いてくれますし費用もそれほどかかりません。裁判所の指定の期日には２人で出廷すれば１日で終わりです。そうしておけば万一、期限に引っ越ししなければ、即、強制執行ができるからです。私文書ならその時になって本裁判をしなければ明け渡してもらえない場合があるからです。