＞新しい所有者から４月分の家賃を請求されました。
＞ これは支払わなくてはいけないのでしょうか？
借りておれば支払う必要がありますが、借りていなければ支払う必要ありません。
つまり、新所有者が旧所有者の権利義務を承継し、承継したことを賃借人が承諾し、その新所有者と賃借人との間で契約がされたなら支払う必要があります。
新所有者は代金納付によってその日から所有権を所得しますので、その日から賃借人から家賃を貰うことはできますが厳密に云うなら所有権の取得の日から契約の日までの期間は「家賃」ではなく「家賃相当額の損害金」となります。今回のような場合には実務では「家賃相当額の損害金」は放棄してもらい契約の日から賃貸人は「家賃」として取り立てることができ賃借人は「家賃」として支払い義務があることになります。
どうしても新所有者が「家賃相当額の損害金」も放棄しないと云うなら賃借人は新所有者に支払い義務は残ることになりますが、その場合は、賃借人は旧所有者に、その間の賃料は「不当利得」となりますので不当利得返還請求できます。実際問題としてそのような裁判もしていませんので上記のように、その間は放棄してもらって進めています。
契約までの間は家賃ではなく家賃相当額の損害金と考えて下さい。同額ですが。
なお、新所有者の云う「・・・あなたの債権ですから、」とは不当利得返還請求権のことと思います。その請求権は債権ですから。