＞親戚の方は、借金と言っても「極度額３０００万円の根抵当」です。素人考えで恐縮ですが根抵当というのは「事業のため継続的に（極度額までの）借金を認める」というものだと理解しています。
そのとおりです。
＞私の自宅はその担保の「一部」です。現在の債務額は不明ですが、特に滞りはないようです。
「一部」と云うのは共同担保の１個にすぎない、と云うことだと思います。そうであっても遅れていなくとも差押（競売開始決定）時をもって、債権は確定します。
＞ こうした場合でも例示頂いたように、競売の配当は半ば自動的に親戚の根抵当の残債務の返済に充てられてしまうものなのでしょうか？
そのとおりです。
＞またその場合は、親戚が債務者であるこの借金が金融機関に対してはなくなる訳ですから、他に共同担保として差し入れている不動産も一緒に担保から外れると思われます。
裁判所では競売となった不動産だけ抹消します。従って、他の不動産に設定された抵当権は裁判所の嘱託では抹消しません。事実上、空（カラ）の抵当権が残ることになります。その場合、抵当権者に抹消の請求をします。
＞「親戚に３０００万円（残債務額）を請求する」際には、一緒に外れた不動産を私が担保に取る事は可能でしょうか？
任意的な話し合いになります。任意の話し合いができなければ訴訟をして勝訴判決でその不動産を差し押さえて競売し回収することになります。